Chaque aiguille d’une montre analogique a son propre rythme, se déplaçant à une vitesse déterminée par les engrenages et les mécanismes de la montre. Pour déterminer combien de fois elles se chevauchent, nous allons étudier le mouvement de chaque aiguille séparément.
Analyse des différentes aiguilles d’une montre
Aiguille des secondes
La plus rapide des trois aiguilles est l’aiguille des secondes :
- Elle effectue un tour complet de 360 degrés en 60 secondes.
Aiguille des minutes
- Elle effectue un tour complet en 60 minutes.
- Chaque minute, elle avance de 6 degrés (360 degrés/60 minutes).
Aiguille des heures
- Elle effectue un tour complet en 12 heures.
- Chaque heure, elle avance de 30 degrés (360 degrés/12 heures).
- Chaque minute, elle avance de 0,5 degré (30 degrés/60 minutes).
Combien de fois les aiguilles se chevauchent-elles en 12 heures?
Aiguilles des heures et des minutes
Les aiguilles des heures et des minutes se chevauchent lorsque la différence de leur position angulaire est un multiple de 360 degrés. L’aiguille des heures avance de 0,5 degré par minute, et l’aiguille des minutes avance de 6 degrés par minute. La différence de vitesse est donc de 5,5 degrés par minute.
L’équation est :
5,560⋅t=36011605,5⋅t=11360
Elles se chevauchent tous les 65 5/11 minutes, soit 11 fois en 12 heures.
Aiguilles des minutes et des secondes
L’aiguille des minutes avance de 6 degrés par minute, et l’aiguille des secondes fait un tour complet de 360 degrés chaque minute.
Donc, elles se chevauchent tous les 60/59 minutes. Sur 12 heures, elles se chevauchent :
7206059≈717,65960720≈717,6
fois.
Aiguilles des heures et des secondes
L’aiguille des heures avance de 0,5 degré par minute, tandis que l’aiguille des secondes fait un tour complet de 360 degrés chaque minute. La différence relative est de 359,5 degrés par minute.
L’équation est :
359,560⋅t=36060359,5⋅t=360
Elles se chevauchent tous les 720/359,5 minutes, soit 359,5 fois en 12 heures.
